一种优于十二平均律的新乐律——新世平均律

孙中岩

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一种优于十二平均律的新乐律——新世平均律


内容摘要

      本文针对十二平均律在应用上的缺憾，结合对广泛应用的“音准曲线”的分析提炼，提出克服十二平均律之弊端的新世纪新的平均律——“新世平均律”。文中详细介绍了有关“新世平均律”各方面的数据；与十二平均律以及与五度相生律的关系；论证了“新世平均律”的科学、合理和实用性；提出了新的乐音音高标准。并得出明确结论：“新世平均律”是优于十二平均律的更为准确实用的平均律，适应新世纪音乐发展的需要，应该而且能够完全取代传统的十二平均律，且对音乐领域的各个方面将会产生巨大影响。

关键词：十二平均律  五度相生律  律制  钢琴调律  新世平均律

前言

      十二平均律是现今乐界起主导作用的音律。但由于其“不准”、与传统乐律不甚和谐等弊端，已不能满足新世纪音乐发展的需要。
      本文提出一种新的转调方便的平均律——“新世平均律”（根据其结构和特点又可称为“五度七分平均律”、“五度纯平均律”）。不同于以往均分八度的各种平均律，独辟蹊径，以纯五度音程等比均分为七份的频率比为生律因数，形成所有音阶。其特点是“纯五度，宽八度”；即新律的所有五度音程都是无误差的纯五度音程，而八度音程稍微加宽形成“延展八度”。新的平均律适应新世纪音乐发展的需求，使五度音程准确，便于建立新的实用性强的统一的绝对音高体系；便于平均律乐器与各种乐器的合奏、声乐的伴奏；“纯五度，宽八度”符合人耳音感的实际需求，更进一步满足了人们对钢琴等平均律乐器的音准、协和性等方面的要求，使广泛应用的平均律更加趋于完美。本文对“新世平均律”的科学性、合理性、实用性等做了各方面的论证，得出明确结论——“新世平均律”应当而且能够完全取代现行的十二平均律。
      以下分十个专题予以论证、说明。

孙中岩

一、十二平均律存在的缺憾与解决办法

      我国是绵延五千年悠久历史的文明古国，音乐方面我国是旋律大国、音律大国。早在1581年，明代著名的律学家、历学家、音乐家朱载堉就首创“十二平均律”，比欧洲人提前了数十年，对世界音乐发展产生了巨大影响，以至于现代钢琴等多数乐器都是依十二平均律制造和定音的。
      但是，由于十二平均律本身建构方面的固有缺欠，不可避免地在应用中显示其不足之处，最大的问题是音不准。十二平均律的各音都是不甚精确的，因此十二平均律又被称为“不准律”。
      在十二平均律中，乐音最重要的纯五度音程偏小（窄五度）；而八度音程，虽然理论上看起来绝对准确（纯八度），但实际上听起来并不准。正如音乐人所指出的：“人们在欣赏音乐的时候有这样一种现象：即越是听到旋律音向高音方向进行时,越是希望能够逐渐高一些；反之,越是听到旋律音向低音方向进行时,越是希望能够逐渐低一点,这样才在心理上有种满足感,我们称这种向高低音两个方向逐渐扩展的现象为‘延伸’”。这是由于弦的物理特性和人们的听觉习惯，使乐音有不同于物理音高的特点：高音应偏高些、低音应偏低些。严格按着十二平均律定音的钢琴或电子琴，音乐家听起来是感觉不准确、不舒服的，所以要用调律师人耳听觉来矫正，这就形成偏离十二平均律的所谓“音准曲线”（也称为“偏离曲线”）。由于钢琴的音不准确，因此当钢琴与管弦乐等配合时，就显得不甚协调，互相让步，互相迁就。比如将钢琴的基准音调高些（443Hz）、管弦乐向十二平均律靠拢等。也严重影响人们用钢琴声做视唱练耳标准音时，对真正标准音的把握。连纯五度都不准，谈何掌握准确音高？实际上，人们的音乐实践从来就没有完全真正遵循过“十二平均律”，而是根据乐音实际要求以人耳听觉感受为标准做了调整。譬如说钢琴，在“基准音组”里是严格遵从十二平均律来分律，可是向其它音组延展时，就需遵从“音准曲线”（与十二平均律的偏差曲线）来矫正十二平均律的理论值。超过钢琴中部的一两个音组，钢琴的音就与十二平均律的值相差越来越远，到钢琴两端的琴键音，竟偏差达30个音分左右。
      这些十二平均律的弊端有办法克服吗？转调方便的十二平均律是不是唯一的平均律？是不是像某些专家所言“谁也不能推翻它、动摇它”？能不能还有即结构简单、又操作方便、更精确一些的新的平均律呢？我的研究结论是：有！我主张的“新世平均律”就是将十二平均律的“窄五度”改成“纯五度”、将十二平均律的“纯八度”适当加宽延伸，改成“宽八度”，形成一种新世纪新的平均律，问题就解决了！

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二、“新世平均律”的构成——“五度七分平均律”

      本文作者提出创建一种转调同样方便、结构同样简单、更科学合理、更符合乐音特点（而不是机械地仅符合物理声音特点）的新平均律，即“五度七分平均律”。
      新的平均律是由国际标准音（a1=440Hz）开始，升高或降低的每个纯五度音程都平均等比分为七份，每一份为音阶最小单位（半音），由此而形成所有音阶。这种新的平均律，按结构来说，作者起名称为“五度七分平均律”。按其特征也可称为“五度纯平均律”。纯五度音程的频率比为3:2，所以按等比均分就是1.5开7次方。



      上述五度七分平均律音阶数据表明，纯五度是准确的，约702音分（十二平均律的五度是700音分，比纯五度窄了2个音分）；纯八度增加了3.35音分。因此，“五度七分平均律”的八度音程是加宽的，每隔八度加宽3.35音分（相当于五度相生律“最大音差”23.46音分的七分之一）。这个3.35音分的音差，作者命名称为“八度音差”。
      每隔八度加宽一个“八度音差”3.35音分，两个八度音差（十五度）是6.7音分，三个八度音差是10音分。
      上述数据还表明了五度七分平均律与十二平均律的半音差别。十二平均律半音是100音分，“五度七分平均律”半音是100.28音分，比十二平均律高0.28音分。
      如a1定为标准音440Hz（钢琴键号为49A）,那么“五度七分平均律”的中央C(音名c1钢琴键号为40C)的频率为261.246Hz（十二平均律中央C为261.626Hz，比“新世平均律”高2.5音分）。
      将五度搞纯了，相信不会有人反对。将八度加宽了，这一“宽八度”是否合适？是否符合人们“高音偏高些、低音偏低些”的听觉习惯呢？我在下面对“宽八度”数据结合“音准曲线”坐标图的分析中可以论证，这一“宽八度”的加宽幅度是正巧合适的！

孙中岩

三、“纯五度”与“宽八度”是音乐发展的切实需求——论“新世平均律”的理论基础

      沿用了几百年的十二平均律尽管存在“音不准”的弊端，但人们总认为这只能是唯一在理论上完美适用的平均律，再无它法。倍频率2开12次方，还能有什么其它简单适用的平均律（当然人们也提出过多种2开其它次方的平均律，譬如五十三平均律等，但都不适用）？所以有些专家就断言十二平均律“谁也不能推翻它、动摇它”。
      本文作者要论证的是：十二平均律之所以能够应用，完全是由于其最重要的音程——十二平均律中“五度”以及“四度”音程与纯音的误差，碰巧地比较精确。其五度仅比纯五度小2音分，而五度又是生成其它各音阶的基础音程。向上可生成（用简谱表示，省略高低音点）1、5、2、6、3、7，向下可生成4。由于每个五度少两个音分，所以向上生成的各音也就较五度律逐渐偏小（7偏小了十个音分），而向下生成的4偏大两个音分。总之，正是由于最重要的音程“五度音程”误差较小（只小两个音分），所以，十二平均律才有实际应用之可能！
      音乐理论中，纯五度是最重要的音程关系，它是律学的基础音程，乐音的灵魂。古今中外传统的五度相生律、三分损益律的全部音阶构成都是由纯五度生成；纯律的绝大部分音程也是由纯五度构成（只是大调2-6、小调5-2之间是小五度）。乐理上的各调关系（五度圈）等也同样证明五度音程是乐理的最基本音程。所以纯五度毫无疑问是音乐理论最重要的音程关系，动一而引发全局。所以这个音程不准，就会引发乐音音准系统的大问题。而本人提出的“新世平均律”，是继三分损益律、五度相生律之后的又一纯五度律制音律。推广这一“五度纯平均律”意义重大！
      由于钢琴的音是不准确的，连乐音最重要的纯五度音程都不准，所以训练有素的小提琴家听钢琴声总感到“不准，偏低”，用钢琴视唱练耳的结果是成批训练成音高关系并不标准的“十二平均律耳朵”，这带来诸多问题，使“钢琴耳朵”与“小提琴耳朵”不一样。长期受钢琴视唱练耳训练的学员，在学习小提琴等其它非平均律乐器、声乐独唱合唱等大量运用五度律、纯律的音乐领域，也还得重新训练矫正耳朵的音高感觉，这是多麽不合理和造成多大的时间、精力方面的浪费啊！
      历代中外律学家总把八度看成是乐音最重要的基础音程关系，在纯八度的基础上分律。这是由于历史条件所限,人们往往把物理音高等同于乐音音高,将八度关系看作是最重要的、必须完全满足的。可是，八度关系的各音实质上就是同一个音，由它并不能生成任何其他音阶。倍频率2只是物理上的纯八度。过去由于科学测频仪器不完备，律学家不了解实际上人耳听觉的八度音程（就是乐音的八度音程）与物理机械的八度音程并不相同，它是遵循“音准曲线”所反映的“高音应偏高些、低音应偏低些”这一乐音客观规律来进行音乐实践（钢琴调律等）。严格按倍频率4、8、16等音高调琴偏偏就听着“不准”,会越发显得“低沉”。十二平均律的数值规定得再精确，人们也从未认真施行过。根据十二平均律制定的国际、国家音高标准实际也都是“有名无实”的摆设，因为不能精确地依此校准钢琴、电子琴等乐器，仅应用于中音“基准音组”的一两个音组的分律。
      历来律学家都由于“黄钟不能回归本位”而大感遗憾、大伤脑筋，想出种种 “新律制”以既满足纯五度的需要，又满足纯八度。比如英国物理学家博赞克特等提出的“五十三平均律”，就是八度和五度都较精准了，可惜并不实用。现在看来，为“黄钟不能回归”而大感遗憾其实是“大可不必”的。因为五度律生律十二次，较之八度叠加七次，确实是高了23.46音分，好像“回不到本位”、“黄钟不能回归”；可是如要将23.46音分分成七份，每份3.35音分；八度按着乐音音感的实际需要加宽3.35音分，就是八度迈稍大一点的步伐，“宽八度”的七步正巧和五度律生律十二次“喜相逢”，岂不妙哉？！这就是“黄钟正好回归本位”了！
      以上就是“新世纪平均律”要构建成“纯五度、宽八度”的“五度七分平均律”的基本设计思路。“宽八度”（延展八度）是现代发现的乐音重要的特点，是古人没有想到的。但是历史和现代音律学家都没有把这一重要乐音特性反应到他们的律制中来，或者有所反应但公式繁难不便应用。这是很不合理的！
      文本作者试图首次在新律制中系统吸收这一“宽八度”的乐音特点，同时继承保留传统音律“纯五度”的共性，继承保留十二平均律律制构建简明的特点；使平均律乐音更贴近自然律五度相生律、音准更为精确，并且新世平均律的简洁程度丝毫不逊于十二平均律。
      这次继五度相生律、三分损益律、纯律之后的又一纯五度律制，把平均律也囊括其中了，这是实现乐音统一、相互协调、互补互进的重要的新型平均律，理应引起乐界重视。
      总之，十二平均律的特点是“窄五度”、“纯八度”；而“新世平均律”的特点是“纯五度”、 “宽八度”。实现“纯五度”当然很好，可是大家的疑问是：“宽八度”合适吗？会不会偏差越来越大？
      新律每个八度都加宽3.35音分。这一音差（3.35音分），即为“八度音差”。两个八度音差为6.7音分，三个八度音差为10音分。这些“偏差”随着音域向高低两端延伸而逐渐增大，但我们从下面的图中可以看到，实际的音响效果是这些“偏差”非但没有越来越大，反而是变小了或消失了。

孙中岩

四、“音准曲线”的解析——论“新世平均律”的科学合理性

      下面的图一是根据仪器实测，一般钢琴调律的实际音高与十二平均律标准值之间的偏差所形成的所谓“音准曲线”图（也称“偏离曲线”，图中绿色曲线）。图二是我们把“新世平均律”六个音组的频率值同时画在图中（红色斜线）。
图一
                  “音准曲线”（调律后实测频率与十二平均律标称值平均偏差曲线）



图二
                   十二平均律的“音准曲线”与“新世平均律”对照比较分析图



      图中横坐标数值为频率（Hz），纵坐标数值0为十二平均律标准值，正负值为偏离十二平均律的音分数；绿色曲线即为“音准曲线”，红色斜线为“新世平均律”。
      “新世平均律”的红斜线的画法：横坐标取键盘中心键45F或标准音49A(本图取45F),分别向左右延展三个八度；纵坐标取左侧低音端 -10音分,右侧高音端+10音分；连接纵横坐标的两个交点，即形成“新世平均律”的斜线轨迹。
      图中可见：在中音区，红绿两条线近乎重合；自45F键起“音准曲线”向琴键两端逐渐偏离十二平均律。比如，高于标准音a1八度的音a2理论值为880Hz，专家实测的钢琴频率为881.01Hz，高出了2音分。比较“新世平均律”的高3.35音分，“新世平均律”实际只是高了1.35音分。人耳是很难分辨这一个多音分的差别。
      图中清楚表明，到了接近键盘两端位置，“新世平均律”红斜线居然和“音准曲线”绿曲线相互交叉了，这两个交叉点表明两律音高正好相等。随着音域向钢琴键盘两端延伸，“新世平均律”的音高偏差非但没有变大，反而减小至零了。图中显示，在键号16C至76C的这一段最常用的五个音组的音域内，“新世平均律”的音高与“音准曲线”的偏差均小于3个音分。因此对于用传统调律方法调好的钢琴，和用“五度纯平均律”调好的钢琴，一般人听起来实际并无明显差别（敏锐的音乐人耳朵当然可以听出差异）。
      我们看到：“新世平均律”(红线)比十二平均律（中央水平线）更贴近音乐家听觉感到舒服的、调律师人耳调出的“音准曲线”，这是运用了数学上经常采用的“用斜直线近似代替曲线”的简化办法。图中明确显示：在常用的倍低音（大字组）、低音（小字组）、中音（小字一组）、高音（小字二组）、倍高音（小字三组）五个音组范围内，“新世平均律”都能提供使音乐家感到舒适准确满意的音高效果频率值。3.35音分的“宽八度”可以说恰到好处！十二平均律实际上是“物理音高”平均律，而“新世平均律”才是乐界所需要的“乐音音高”平均律。

孙中岩

五、“新世平均律”的基本数据计算方法

      “新世平均律”的另一名称是“五度七分平均律”。就是将纯五度音程等比均分为七等分，每一份即作为新平均律的半音，累计生成各律（各个音阶）
      因为纯五度音程高低音频率比为3/2，也就是将1.5开七次方。一般应用值为1.059634  
      “新世平均律”的1.059634自乘7次，得1.5 ，所以凡是五度关系都是纯五度。而十二平均律的五度音程都是比纯五度小2个音分。
      新世平均律的1.059634自乘12次，得2.0038754738，比倍频率2高3.35143音分。常用值取3.35音分，此即“八度音差”
      “新世平均律”的标准音A也定为440Hz
      将440依次除以1.059634，即得出钢琴标准音键号49A以下的48降A、47G等各音；将440依次乘以1.059634，即得出钢琴键号50升A、51B等各音。
      钢琴中央C键号为40C，“新世平均律”的频率为261.246Hz（十二平均律中央C为261.626Hz，比新世平均律高2.5音分）。



      例如：计算“八度音差”，用科学计算器先将“新世平均律”半音比率1.059634生律12次得2.0038754738，除以2（物理标准倍频率）得1.0019377369，取对数得出一个数，这个数乘以3986即得到二者相差3.35143音分的答案。简化值为3.35音分。频率比1.059634和“八度音差”3.35音分是“新世平均律”最重要的两个基本常数。

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六、“新世平均律”与五度相生律的紧密联系

      由于“新世平均律”的所有五度音程都是纯五度，所以“新世平均律”就与传统的最重要音律——五度相生律、三分损益律之间存在内在的紧密联系。由于三分损益律和五度相生律在中西方音乐史上举足轻重的地位和沿袭至今的广泛应用，相信五度律和平均律的这一“结缘”，是乐界的一大幸事，所带来的和谐统一将影响音乐活动的方方面面。
      如以某音为二律共同的始发音，上行（或下行）依纯五度生成各律音阶。显然，所有这一系列音的高度，二律是完全相同的，就是说音阶完全重合，没有偏差。因此说，“新世平均律”与传统五度相生律有着密不可分的天然联系。这是多么美妙的事啊！这样“乐器皇后”小提琴的空弦G、D、A、E，大提琴C、G、D、A就与“乐器之王”钢琴的对应键（28C、35G、42D、49A、56E）音高完全相同了。这在应用上，给乐器合奏、视唱练耳带来极大的协和、便利。
      在一个八度内，五度相生律和“新世平均律”音阶音高相差都是“八度音差”的整数倍。我们用简谱数字符表示，两律的1、5相同，按五度相生生成的2、6，五度律音阶比新律高一个“八度音差”，即3.35音分；这是由于高音2、6减纯八度回到基本音组，就比按宽八度回归高了3.35音分。同理，3、7回归基本音组需低两个纯八度，所以五度律比新律高两个“八度音差”即6.7音分。而4，是升一个纯八度到基本音组，因此比新律低了一个“八度音差”。
      在以往“三大律制”（五度相生律、纯律、十二平均律）之间，是没有两律在很宽音域的某些系列音阶完全重合的现象存在的。而在新设计的“新世平均律”与传统“五度相生律”（或三分损益律）之间，就实现了音高等位。在钢琴的任何调式里，两律都有12个音是完全相同的（每隔五度即七个键就碰到相同音）。一般乐器都是以五度相生律为主的，与钢琴配合每隔五度就产生2个音分的误差，累积起来音差很大。而应用“新世平均律”就可以在很大程度上克服这一不和谐难题。
      我国是音乐历史极为悠久的“旋律大国”，延续千年的“三分损益律”与西方五度律本质是一样的。正如陈其射教授所指出的“五度律素始终是我国生律的核心元素”，“五度律素观始终是中国律制的主宰，它先入为主，根深蒂固，深入人心，一直延续至今。”如今，“新世平均律”巧妙地化解了“黄钟不能回归”这一千古难题，平均律与三分损益律重合，为弘扬民族文化提供了广阔的发展舞台。新平均律与五度律的这一“结合”，为我国民族音乐、民族乐器发展提供极大便利，可以更多、更好地利用钢琴等平均律乐器来创作、合奏、独奏、伴奏……；旋律会更为高昂、明亮、准确！也更方便使中国民族音乐走向世界舞台。
      由于新平均律实现了音程五度纯，因此在应用上，只需改变个别音就可适应于传统音律。比如适当抬高第七音（7-i），就可实现五度相生律的导音向主音靠拢的“倾向性”旋律特征；适当降低第三音（1-3-5），就可实现纯律三和弦的和声特征。与十二平均律各音都对不准的情况相比，这就容易多了。

孙中岩

七、实施“新世平均律”在钢琴调律、有品乐器制作、电声乐器定音方面的变化

      实施“新世平均律”简便易行，有很强的可操作性。
      钢琴调律是实施新平均律的重要手段。就钢琴调律来说，按“五度七分平均律”调律，要比按目前的十二平均律调律简化容易得多。因为五度都是纯五度关系（无拍音），很容易把握，依次调正音准。五度内只需均分七份，操作简单。基准音组分律和延展都较容易。利用以往十二平均律调律的丰富经验，改为按纯五度、宽八度的“五度七分平均律”调律，是很方便顺畅的，技术上没有难度。应注意的是,应用人工听拍音向键盘两端琴键扩展纯五度时,也有一个”高音偏高、低音偏低”的现象发生，应注意与八度、十五度检测相结合、协调，不至于使八度过宽。
      用“新世平均律”调律，也给运用“音准仪”等仪器调律提供极大方便。因为以往用仪器调律如果完全按十二平均律标准频率表来调，效果肯定较差，需运用所谓“音准曲线”来矫正。而应用“新世平均律”，可以直接按“新世平均律”频率表规定的频率标准数值来调律，即可达到满意的音准效果。这样就提高了调律工作效率，也可以使更多人加入调律队伍，胜任调律工作。
      对于有品弦乐器，譬如吉他、琵琶等，采用“新世平均律”，有品弦乐器的品柱位置应当做一点移动。“新世平均律”的品柱位置比十二平均律更靠琴码一点。十二品至二十四品品柱位置，两律相差值为空弦弦长的千分之一（以十七品为最，向琴码移动弦长的千分之1.0258586），其余品柱移动都小于千分之一。
      例如，假定琵琶弦长（从弦枕到琴码）为0.7米，那么十一品至二十四品的各品柱安装位置都向弦枕移动0.7毫米即可。
      电子合成器、迷笛、电子琴等电声乐器的频率整定就更为简单，只需按“新世平均律频率表”调整即可。
      这些乐器按新的乐音音高标准来调音，就使得这些乐器都成为“标准音高发生器”。尤其是普及率极高的钢琴，将成为巨大的音域宽广的“标准音高发生器”，这为视唱练耳等声乐基本训练、钢琴与乐队合奏合练等音乐活动和演出，带来从未有过的便利、和谐。这将给乐界带来深远影响。